Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x

Passo 1

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x → ∞ ∞

Temos a indeterminação da forma ∞ ∞ , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x = lim x → ∞ ⁡ 1 x 1 2 x 1 2 - 1 = lim x → ∞ ⁡ 1 x 1 2 x - 1 2 = lim x → ∞ ⁡ 1 x 1 2 x = lim x → ∞ ⁡ 1 x . 2 x 1 = lim x → ∞ ⁡ 2 x x = lim x → ∞ ⁡ 2 x 1 2 x = lim x → ∞ ⁡ 2 x 1 2 - 1 = lim x → ∞ ⁡ 2 x - 1 2 = lim x → ∞ ⁡ 2 x = 0

Quando o numerador tende a um número finito e o denominador tende a um número muito grande, faz o limite se aproximar de 0 .

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calculej) lim x → 0 - ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Calculem) lim x → 0 ⁡ sec 3 ⁡ x 1 - cos ⁡ x
Calculeh) lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 1 ln ⁡ x
Calculea) lim x → - 1 ⁡ 4 x 3 + x 2 + 3 x 5 - 1