Enunciado

Demonstre que

lim x → ∞ ⁡ e x x n = ∞

para todo n inteiro positivo. Isso mostra que a função exponencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de x .

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui a gente precisa demonstrar que:

lim x → ∞ ⁡ e x x n = ∞

para todo n inteiro positivo. Isso mostra que a função exponencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de x .

A primeira coisa que a gente vai fazer aqui é uma rápida substituição pra vermos se podemos usar a regra de L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ e ∞ ∞ n = ∞ ∞

Como temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , a regra pode ser aplicada!!!

Passo 2

Seja

y = lim x → ∞ ⁡ e x x n

Utilizando o logaritmo natural em ambos os lados:

ln ⁡ y = ln ⁡ [ lim x → ∞ ⁡ e x x n ]  

ln ⁡ y = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x x n

ln ⁡ y = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x - ln ⁡ x n

ln ⁡ y = lim x → ∞ ⁡ x - n ln ⁡ x

ln ⁡ y = lim x → ∞ ⁡ x 1 - n ln ⁡ x x

ln ⁡ y = lim x → ∞ ⁡ x lim x → ∞ ⁡ 1 - n ∙ l n x x

ln ⁡ y = lim x → ∞ ⁡ x 1 - lim x → ∞ ⁡ n ln ⁡ x x

Passo 3

Como temos o limite na fora ∞ / ∞ podemos aplicar a regra:

ln ⁡ y = lim x → ∞ ⁡ x 1 - lim x → ∞ ⁡ n x 1

ln ⁡ y = lim x → ∞ ⁡ x 1 - 0

y = e ∞ = ∞

Resposta

Demonstração.

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Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropiado. Se houver um método mais elementar, considere utulizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê. lim x → 0 + ⁡ x
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê. lim x → 1 + ⁡
Calcule x - x 2 l n l n1 + x x .
Suponha que f seja uma função positiva. Se f x = 0 e g x = ∞, mostre que f x g x = 0 Isso mostra que 0 ∞ não é uma forma indeterminada.
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 1 2 6 x 2 + 5