Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 73
Demonstre que
para todo inteiro positivo. Isso mostra que a função exponencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de .
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui a gente precisa demonstrar que:
para todo inteiro positivo. Isso mostra que a função exponencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de .
A primeira coisa que a gente vai fazer aqui é uma rápida substituição pra vermos se podemos usar a regra de L’Hospital:
Como temos uma indeterminação do tipo , a regra pode ser aplicada!!!
Passo 2
Seja
Utilizando o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Como temos o limite na fora podemos aplicar a regra:
Resposta
Demonstração.
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