Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x sen ⁡ π x

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar o limite de:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x sen ⁡ π x

O problema nos pede pra a gente usar o método mais elementar possível e se não pudermos devemos usar a Regra de L'Hôspital. Então vamos começar tentando resolver o limite só com a substituição:

ln ⁡ 1 = 0

sin ⁡ π = 0

Logo:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x sen ⁡ π x = 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Pela regra de L'Hôspital temos que:

lim x → a ⁡ g x h x = lim x → a ⁡ g ' x h ' x  

Derivando, temos que:

g ' x = d ln ⁡ x d x = 1 x

h ' x = d sen ⁡ π x d x = π cos ⁡ π x

Substituindo:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x sen ⁡ π x = lim x → 1 ⁡ 1 x π cos ⁡ π x  

Agora podemos resolver o limite:

lim x → 1 ⁡ 1 x π cos ⁡ π x = - 1 π

Prontinho!

Resposta

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x sen ⁡ π x = - 1 π

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