Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 1 ⁡ 1 - x + ln ⁡ x 1 + cos ⁡ π x

Passo 1

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 1 ⁡ 1 - x + ln ⁡ x 1 + cos ⁡ π x → 1 - 1 + ln ⁡ 1 1 + cos ⁡ π . 1 → 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 1 ⁡ 1 - x + ln ⁡ x 1 + cos ⁡ π x = lim x → 1 ⁡ 0 - x 1 - 1 + 1 x 0 - sen ⁡ π x . π x 1 - 1 = lim x → 1 ⁡ - 1 + 1 x - πsen ⁡ π x → - 1 + 1 1 - πsen ⁡ π . 1 → 0 0

Vamos usar L'Hôspital mais uma vez:

lim x → 1 ⁡ - 1 + 1 x - πsen ⁡ π x = lim x → 1 ⁡ 0 - 1 x 2 - πcos ⁡ π x π x 1 - 1 = lim x → 1 ⁡ - 1 x 2 - π 2 cos ⁡ π x

= - 1 1 ² - π 2 cos ⁡ π . 1 = - 1 - π 2 ⁡ - 1 = - 1 π 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ 1 - x + ln ⁡ x 1 + cos ⁡ π x = - 1 π 2

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Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim y → 0 ⁡ 5 y + 25 - 5y
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim θ → 0 ⁡ 3 s e n θ - 1 θ
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m θ → 0 +c o s θ - 1 e θ - θ - 1
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 2 e - x
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → 1 +( ⁡ 1 1 - x - 1 ln ⁡ x)