Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 1 ⁡ x a - a x + a - 1 x - 1 2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que utilizemos a Regra de L'Hôspital para encontar o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ x a - a x + a - 1 x - 1 2

Caso não seja aplicável, devemos utilizar outro método.

Lembrando que a regra de L'Hôpital é um método para calcular limites indeterminados de funções que podem resultar em formas do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ .

Consiste em derivar o numerador e o denominador separadamente quando o limite é indeterminado e avaliar novamente o limite.

Se o novo limite ainda for indeterminado, repete-se o processo até que o limite possa ser determinado. ​

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 1 ⁡ x a - a x + a - 1 x - 1 2 → 1 a - a . 1 + a - 1 1 - 1 2 → 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 1 ⁡ x a - a x + a - 1 ' x - 1 2 ' = lim x → 1 ⁡ a x a - 1 - a x 1 - 1 + 0 - 0 2 x - 1 2 - 1 x 1 - 1 - 0

= lim x → 1 ⁡ a x a - 1 - a 2 x - 1 1

= lim x → 1 ⁡ a x a - 1 - a 2 x - 2

Aplicando o limite, temos:

a . 1 a - 1 - a 2.1 - 2 → 0 0

Hm... outra indeterminação!!

Passo 4

Vamos usar L'Hôspital mais uma vez:

lim x → 1 ⁡ a x a - 1 - a ' 2 x - 2 ' = lim x → 1 ⁡ a . a - 1 . x a - 1 - 1 - 0 2 x 1 - 1 - 0

= lim x → 1 ⁡ a . a - 1 . x a - 2 2 . 1

= a . a - 1 . 1 a - 2 2

= a a - 1 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ x a - a x + a - 1 x - 1 2 = a a - 1 2

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Calculei) lim x → 0 + ⁡ 1 x + ln ⁡ x
Calculed) lim x → + ∞ ⁡ e 3 x x 2
Calculeq) lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 x
Calculer) lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 3 x 1 s e n x
Calculeo) lim x → + ∞ ⁡ x - x 3 - x 3