Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x tg ⁡ 5 x

Passo 1

Nesse problema temos apenas que calcular o limite

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x tg ⁡ 5 x

Parece complicado? 🤔

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x tg ⁡ 5 x → sen ⁡ 4.0 tg ⁡ 5.0 → 0 0

Nesse caso se aplicarmos o método de substituição, vamos cair em uma indeterminação 0 0 .

Portanto é necessário aplicar algum método para calcular esse limite.

A principio, como temos uma indeterminação, podemos aplicar a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador do limite e substituir o valor da variavel...

Bora lá! 😉

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x tg ⁡ 5 x

= lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 4 x . 4 sec 2 ⁡ 5 x . 5

= lim x → 0 ⁡ 4 cos ⁡ 4 x 5 sec 2 ⁡ 5 x

= lim x → 0 ⁡ 4 cos ⁡ 4 x 5 cos 2 ⁡ 5 x

= 4 cos ⁡ 4 ∙ 0 5 cos 2 ⁡ 5 ∙ 0

= 4 ∙ 1 5 1 2 = 4 5

Resposta

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 4 x tg ⁡ 5 x = 4 5

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