Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 1 ⁡ 2 - x t g ( π x / 2 )

Passo 1

A questão pede para calcularmos o limite usando a regra de L’Hospital se for possível. Devemos então verificar se o limite é indeterminado e ver se a indeterminação é do tipo que admite a aplicação da regra.

Passo 2

Para x → 1 , t g π x / 2 → ± ∞ , de modo que 2 - x t g ( π x / 2 ) → 1 ± ∞ , que é uma indeterminação. Usando que 2 - x t g ( π x / 2 ) = e ln ⁡ 2 - x t g π x / 2 = e t g π x / 2 ⋅ ln ⁡ ( 2 - x ) , temos que

lim x → 1 ⁡ 2 - x t g ( π x / 2 ) = e lim x → 1 ⁡ t g π x / 2 ⋅ ln ⁡ 2 - x

Assim, o limite que realmente nos interessa é

lim x → 1 ⁡ t g π x / 2 ⋅ ln ⁡ 2 - x = lim x → 1 ⁡ ln ⁡ ( 2 - x ) c o t g   ( π x / 2 )

Este limite é indeterminado do tipo 0/0.

Passo 3

Como o limite é indeterminado do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ ( 2 - x ) c o t g   ( π x / 2 ) = lim x → 1 ⁡ - 1 / ( 2 - x ) - c o s s e c 2 π x / 2 ⋅ π / 2 = lim x → 1 ⁡ 2   s e n 2 ( π x / 2 ) π   ( 2 - x ) = 2 π

*Lembrando que c o t g   x ' = - cos sec 2 ⁡ x .

Assim,

lim x → 1 ⁡ 2 - x t g ( π x / 2 ) = e 2 / π

Resposta

e 2 / π .

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