Enunciado

Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir.

lim x → 0 ⁡ s e n x x 1 x

Passo 1

Nesta seção, a maioria dos limites que formos resolver estão associados com alguma forma indeterminada. As formas indeterminadas mais comuns são ∞ ∞ e 0 0 . Existe também outras formas indeterminadas como ∞ 0   ,   1 ∞   e   0 0 .

Para resolvermos os limites que estão sujeitos à algumas dessas formas indeterminadas, podemos utilizar a Regra de L´Hôspital. Essa regra nos diz que ao encontrar uma das formas indeterminadas no cálculo de algum limite devemos derivar o numerado e o denominador, separadamente, até que a indeterminação deixe de existir.

Em alguns casos devemos fazer com que apareçam essas indeterminações, por meio de artifícios matemáticos, para que possamos aplicar a Regra de L´Hôspital e a resolução do limite se tornar mais fácil.

Passo 2

Sendo assim, calculando o limite em questão temos que:

lim x → 0 ⁡ s e n x x 1 x = ⏞ 1 ∞  

Neste tipo de indeterminação, podemos reescrever o problema:

s e n x x 1 x = e l n s e n x x 1 x = e 1 x . l n ( s e n x x )

Portanto o limite pode ser escrito como:

lim x → 0 ⁡ s e n x x 1 x = l i m x → 0 e 1 x . l n s e n x x

Passo 3

Para isso devo saber para onde   1 x . l n s e n x x vai tender, para eu substituir na equação do limite e encontrar o resultado do mesmo. Assim :

l i m x → 0   1 x . l n s e n x x = l i m x → 0 l n s e n x - l n x x = ⏞ 0 0   L ´ H = l i m x → 0   1 s e n x . c o s x - 1 x 1 =

=   l i m x → 0   x c o s x - s e n x x s e n x = ⏞ 0 0   L ´ H l i m x → 0 - x s e n x - x c o s x + s e n x = ⏞ 0 0   L ´ H l i m x → 0 - x c o s x - s e n x - x s e n x + 2 c o s x = 0

Passo 4

Assim, o valor do limite procurado é:

lim x → 0 ⁡ s e n x x 1 x = l i m x → 0 e 1 x . l n s e n x x = l i m x → 0 e 0 = 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n x x 1 x = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ x 2 + 6 x x 3 + 7 x 2 + 5 x
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x 3
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 1 / 2 ⁡2 x 2 + x - 1 4 x 2 - 4 x + 1
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 2 - x + 2
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → - ∞ ⁡ 5 - 5 x 3 2 - 2 x 3