Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x x

Passo 1

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x x → ∞ ∞

Temos a indeterminação da forma ∞ ∞ , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x x = lim x → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x . ln ⁡ x ' x 1 - 1 = lim x → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x . 1 x 1 = lim x → ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ x = 0

Quando o numerador tende a um número finito e o denominador tende a um número muito grande, faz o limite se aproximar de 0 .

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x x = 0

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