Enunciado

Faça uma conjectura sobre as equações das assíntotas horizontais, se houver, por meio do gráfico da equação obtida por um recurso computacional; verifique sua resposta usando a regra de L’Hôpital.

y = ln ⁡ x - e x

Passo 1

Para essa questão vale lembrar que temos uma assíntota horizontal quando nosso x tende para mais e menos infinito, e encontramos uma constante como resultado desse limite. Caso contrário, não possuímos uma AH. Por meio do plote do gráfico podemos observar que a função não possui uma AH. Vamos calcular o limite para confirmar isso.

Passo 2

lim x → ∞ ⁡ l n x - e x

lim x → ∞ ⁡ l n x - lim x → ∞ ⁡ e x

Observe que ambos os limites vão para o infinito, mas analizando separadamente as funções, sabemos que o exponencial cresce muito mais rápido do que o ln, o que nos diz que o infito do exponencial é muito maior do que ln. Essa subtração ∞ - ∞ nos dá - ∞ já que o infinito do exponencial é muito maior.

Com isso concluímos que não há uma assíntota horizontal.

Resposta

N ã o   h á   A . H .

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