Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê.

l i m x → 1 2 6 x 2 + 5 x - 4 4 x 2 + 16 x - 9

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

l i m x → 1 2 6 x 2 + 5 x - 4 4 x 2 + 16 x - 9

Para isso, a questão quer que usemos a regra de L’Hôspital quando for apropriado.

Mas que regra é essa??

A Regra de L'Hôpital é uma técnica no cálculo diferencial que é utilizada para avaliar limites indeterminados do tipo 0 / 0 ​ ou ∞ / ∞ .

Se a gente tiver indeterminação desse tipo, temos que derivar o numerador e o denominador da função e prosseguir aplicando o limite.

E aí?? Bora aplicar?? 😉 ​

Passo 2

Vamos ver se a nossa função tem alguma das indeterminações citadas:

l i m x → 1 2 6 x 2 + 5 x - 4 4 x 2 + 16 x - 9 = 6 1 2 2 + 5 1 2 - 4 4 1 2 2 + 16 1 2 - 9 ∴

l i m x → 1 2 6 x 2 + 5 x - 4 4 x 2 + 16 x - 9 = 3 2 + 5 2 - 4 4 4 + 8 - 9 ∴

l i m x → 1 2 6 x 2 + 5 x - 4 4 x 2 + 16 x - 9 = 4 - 4 9 - 9 ∴

l i m x → 1 2 6 x 2 + 5 x - 4 4 x 2 + 16 x - 9 = 0 0

Já podemos aplicar L’Hôspital, nosso limite tem a forma 0 0 .

Passo 3

Vimos que o limite tá na forma correta, beleza? Então vamos aplicar L’Hôspital derivando o numerador e o denominador:

l i m x → 1 2 6 x 2 + 5 x - 4 ' 4 x 2 + 16 x - 9 ' =     l i m x → 1 2 1 2 x + 5 8 x + 16

Substituindo o limite, temos:

l i m x → 1 2 12 x + 5 8 x + 16 = 12 ⋅ 1 2 + 5 8 ⋅ 1 2 + 16 ∴

l i m x → 1 2 12 x + 5 8 x + 16 = 11 20

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

l i m x → 1 2 6 x 2 + 5 x - 4 4 x 2 + 16 x - 9 = 11 20

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