Enunciado

Calcule o limite, se ele existir.

underset(theta -> 0)(lim) (theta - sin theta)/(tan^3 theta)

Passo 1

Pra resolver esse limite, nós vamos precisar usar L’Hôpital algumas vezes, então vai com calma e lembra da Regra da Cadeia, hein!

underset(theta -> 0)(lim) (theta - sin theta)/(tan^3 theta) = underset(theta -> 0)(lim) (1 - cos theta)/(3 tan^2 theta sec^2 theta) = underset(theta -> 0)(lim) (sin theta)/(3 ( 2 tan theta sec^4 theta + 2 tan^3 theta sec^2 theta )) = underset(theta -> 0)(lim) (cos theta)/(6 ( 7 sec^4 theta tan^2 theta + sec^6 theta + 2 tan^4 theta sec^2 theta ))

Passo 2

Quando theta -> 0 , a mágica acontece! A gente sabe que tan (pi)/(2) = 0 e sec (pi)/(2) = 1 , então esse limite é – muito – mais fácil do que parece, e a gente chega a um final feliz. :D

underset(theta -> 0)(lim) (cos theta)/(6 ( 7 sec^4 theta tan^2 theta + sec^6 theta + 2 tan^4 theta sec^2 theta )) = (1)/(6)

Resposta

underset(theta -> 0)(lim) (theta - sin theta)/(tan^3 theta) = (1)/(6) .

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