Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L’Hôspital não for aplicável, explique o por quê.

17 .             lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x

Passo 1

E aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos apenas que calcular o limite.

A primeira coisa a se fazer aqui é verificar se temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ ou 0 / 0 para aplicar a regra de L’Hôspital.

O lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞ e lim x → 0 + ⁡ x = 0 , temos algo como - ∞ / 0 e não podemos aplicar L’Hôspital.

Passo 2

Vamos manipular a expressão para possamos utilizar a regra de L’Hôspital.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x

= lim x → 0 + ⁡ 1 x ⋅ ln ⁡ x

= lim x → 0 + ⁡ 1 x ⏞ + ∞ ⋅ lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ⏟ - ∞

= + ∞ - ∞ = - ∞

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x = - ∞

O gráfico abaixo irá nos ajudar a visualizar melhor o que encontramos matematicamente.

Resposta

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x = - ∞

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