Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 x

Passo 1

E aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos apenas que calcular o limite .

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 x → ∞ ∞

Temos a indeterminação da forma ∞ ∞ , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 x

= lim x → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x 2 - 1 . 1 x x 1 - 1

= lim x → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x x 1

= lim x → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x x → ∞ ∞

Vamos usar L'Hôspital mais uma vez:

lim x → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x x

= lim x → ∞ ⁡ 2 1 x x 1 - 1

= lim x → ∞ ⁡ 2 1 x 1

= lim x → ∞ ⁡ 2 x = 0

Quando o numerador tende a um número finito e o denominador tende a um número muito grande, faz o limite se aproximar de 0 .

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 x = 0

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Calculea) lim x → 1 - ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1
Calculec) l i m x → 0 + x e 1 x
Calculeg) lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x ln ⁡ x
Calculeb) lim x → 0 + ⁡ x 2 + t g 3x s e n 3x
Calculen) lim x → + ∞ ⁡ x 3 e - 4 x