Enunciado

Encontre os limites quando x → ∞ e quando x → - ∞ . Use essa informação, bem como os interceptos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 11.

y = x + 4 5 x - 3 4

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Bora resolver essa questão! Temos essa função aqui

y = x + 4 5 x - 3 4

E precisamos achar os limites dessa função quando

x → ∞

E também

x → - ∞

E pede também para esboçarmos o gráfico! Ué, mas como assim?

Bom, note que nossa função é um polinômio, e pela maior potência podemos ter um esboço dessa função! Se a maior potência for uma potência par, as duas pontas da função apontam para o mesmo lado ( o u + ∞     o u - ∞ )

Mas se a maior potência for ímpar vamos ter uma ponta apontando para cima e a outra para baixo, assim

Já se temos raízes, a cara do polinômio vai ficar a mesma, mas passando nas raízes antes do comportamento final no infinito! Veja o exemplo de y = x - 1 2 e y = x - 1 4 . Aqui temos que x = 1 é raiz de multiplicidade dois e quatro respectivamente

Então a ideia é usar essas estratégias para ver como é nossa função!

Mas relaxa, vou fazer com você!!

Passo 2

Nesse passo vamos tentar caracterizar os pontos principais: onde a função corta o eixo x e o eixo y .

Primeiramente faremos os interceptos que são os pontos, que são os pontos que tocam o eixo x y = 0 e eixo y ( x = 0 ) .

Lembrando que caso o ponto seja raiz duas vezes (par de vezes). O gráfico naquele ponto não corta o eixo x . Ele apenas toca em no eixo x . Como uma parábola de raiz única!

Nossa função

y = x + 4 5 x - 3 4

Para o eixo y , é só jogar x = 0

y = 0 + 4 5 0 - 3 4

y = 1024 × 81

y = 82.944

Para o eixo x , é só fazermos y = 0

0 = x + 4 5 x - 3 4

As raízes serão:

x = - 4 , x = 3

Lembrando que o 3 é raiz de multiplicidade par, então não haverá corte em x = 3 , apenas toca nesse ponto.

Passo 3

Bora verificar os limites?

Agora faremos os limites x → ∞ e depois x → - ∞ :

x → ∞

lim   x → ∞ ⁡ x + 4 5 x - 3 4

Anotaremos os limites individualmente:

l i m   x → ∞ x + 4 5 = + ∞

l i m   x → ∞ x - 3 4 = + ∞

Então:

lim   x → ∞ ⁡ x + 4 5 x - 3 4 = + ∞

E agora para o lado negativo:

x → - ∞

lim   x → - ∞ ⁡ x + 4 5 x - 3 4

Anotaremos os limites individualmente:

l i m   x → - ∞ x + 4 5 = - ∞

l i m   x → - ∞ x - 3 4 = + ∞

Então:

lim   x → - ∞ ⁡ x + 4 5 x - 3 4 = - ∞

Tudo conforme imaginamos, para valores muito grandes e negativo, a função também é negativa. Os interceptos em x são - 4   e   3 e em 3 o gráfico não muda de sinal apenas toca em x . E para valor muito grande positivo, a função é negativa.

Resposta

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