Calcule o limite.

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 7 cos ⁡ x 3 x 2 - 5 s e n x + 1

Passo 1

Como temos um limite onde nossa função possui termos polinomiais e x → + ∞ , a estratégia inicial pode ser será colocar o termo de maior grau em evidencia. Vamos lá!

L = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 7 cos ⁡ x 3 x 2 - 5 s e n x + 1

Passo 2

Colocando x em evidencia no numerador e x 2 em evidencia no denominador:

L = lim x → + ∞ ⁡ x × x 2 - 7 cos ⁡ x x x 2 3 - 5 s e n x x 2 + 1 x 2

Simplificando o x 2 do denominador com o do numerador:

L = lim x → + ∞ ⁡ 2 - 7 cos ⁡ x x 3 - 5 s e n x x 2 + 1 x 2

Assim,

L = l i m x → + ∞ 2 - 7 cos ⁡ x x l i m x → + ∞ 3 - 5 s e n x x 2 + 1 x 2

Passo 3

Agora vamos analisar cada limite separadamente, beleza?!

L 1 = l i m x → + ∞ 2 - 7 cos ⁡ x x

Logo,

L 1 = 2 - 7 l i m x → + ∞ cos ⁡ x x

Como a função cos ⁡ x só pode variar entre - 1 e 1 e estamos dividindo por um número muito grande ( x → ∞ ) , então l i m x → + ∞ cos ⁡ x x será 0 .

L 1 = 2

Passo 4

Pra finalizar, basta analisarmos o outro limite, e esse vai seguir a mesma ideia do anterior. Vamos lá!

L 2 = l i m x → + ∞ 3 - 5 s e n x x 2 + 1 x 2

Assim,

L 2 = 3 - l i m x → + ∞ 5 s e n x x 2 + l i m x → + ∞ 1 x 2

O l i m x → + ∞ 5 s e n x x 2 vai seguir e mesma ideia do Passo 2, pois o s e n x só pode variar entre - 1 e 1 e estamos dividindo por um número muito grande, logo,

l i m x → + ∞ 5 s e n x x 2 = 0

Dessa forma,

L 2 = 3 - 0 + 1 ∞ → L 2 = 3

Voltando para o nosso limite inicial:

L = l i m x → + ∞ 2 - 7 cos ⁡ x x l i m x → + ∞ 3 - 5 s e n x x 2 + 1 x 2

Usando o que já achamos no Passo 2 e 3:

L = 2 3

Resposta

L = 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados