Enunciado

Calcule o limite.

underset(x -> + oo)(lim) x (sqrt(x^2 - 1) - x)

Passo 1

Inicialmente, podemos tentar calcular o limite fazendo x = oo . Assim,

L = x (sqrt(oo^2 - 1) - x)

Logo,

L = oo xx (oo - oo)

Como chegamos numa indeterminação, vamos ter que mexer na nossa expressão.

Passo 2

Repare que o nosso limite e a subtração de duas raízes, então podemos lembrar daquela ideia de multiplicar em cima e embaixo por um fator para aparecer a diferença de quadrados, se você não lembra é só vir comigo!

L = underset(x -> + oo)(lim) x (sqrt(x^2 - 1) - x)

Se multiplicarmos em cima e embaixo por: sqrt(x^2 - 1) + x , vamos ter o seguinte:

L = underset(x -> + oo)(lim) x (sqrt(x^2 - 1) - x) xx (sqrt(x^2 - 1) + x)/(sqrt(x^2 - 1) + x)

Assim,

L = underset(x -> + oo)(lim) (x (sqrt(x^2 - 1) - x) (sqrt(x^2 - 1) + x))/(sqrt(x^2 - 1) + x)

Agora repare que no numerador apareceu uma expressão do tipo:

(a - b) (a + b)

E essa expressão é conhecida!

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = underset(x -> + oo)(lim) (x ((sqrt(x^2 - 1))^2 - x^2))/(sqrt(x^2 - 1) + x)

Passo 3

Organizando nossa expressão:

L = underset(x -> + oo)(lim) (x ((x^2 - 1) - x^2))/(sqrt(x^2 - 1) + x)

Simplificando:

L = underset(x -> + oo)(lim) (- x)/(sqrt(x^2 - 1) + x)

Se fizermos x = oo :

L = (oo)/(oo)

Como ainda estamos numa indeterminação, então vamos colocar x^2 em evidencia dentro da raiz no denominador:

L = underset(x -> + oo)(lim) (- x)/(sqrt(x^2 (1 - (1)/(x^2))) + x)

Como estamos x -> oo , isto é, valores positivos de x , podemos tira-lo da raiz mantendo o sinal. Logo,

L = underset(x -> + oo)(lim) (- x)/(x sqrt((1 - (1)/(x^2))) + x)

Cortando o x :

L = underset(x -> + oo)(lim) (- 1)/(sqrt((1 - (1)/(x^2))) + 1)

Quando x -> oo :

L = (- 1)/(sqrt(underset(x -> + oo)(l i m) (1 - (1)/(x^2))) + 1)

Isto é,

L = (- 1)/(sqrt((1 - (1)/(oo))) + 1) -> L = (- 1)/(1 + 1)

Portanto,

L = - (1)/(2)

Ufa, essa deu trabalho em!

Resposta

L = - (1)/(2)

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