Enunciado

Encontre os limites quando x → ± ∞ . Use essa informação, bem como as interseções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico.

y = 3 - x ⋅ 1 + x 2 ⋅ 1 - x 4

Passo 1

Falaaa... tudo bem?? Nessa questão foi dada a função:

y = 3 - x ⋅ 1 + x 2 ⋅ 1 - x 4

E é pedido pra calcular os limites quando x tende para mais ou menos infinito.

lim x → ± ∞ ⁡ 3 - x ⋅ 1 + x 2 ⋅ 1 - x 4

Também é pedido pra encontrar as interseções da função com os eixos x e y .

Lembrando que a interseção no eixo y é quando x é igual a zero e a interseção com o eixo x é quando y é igual a zero.

Com essas informações vamos esboçar o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, calcularemos as interseções com os eixos. As interseções no eixo y podem ser calculadas substituindo x por 0, ou seja, f ( 0 ) , e nesse caso:

f 0 = 3 ⋅ 1 2 ⋅ 1 4 = 3

As interseções no eixo x são encontradas pelas raízes da equação, ou seja, f x = 0   , para isso utilizamos o princípio da multiplicação por 0, daí, as raízes são x = ± 1   e   x = 3   .

Passo 3

Agora calcularemos os limites,

lim x → ∞ ⁡ 3 - x ⋅ 1 + x 2 ⋅ 1 - x 4

lim x → - ∞ ⁡ 3 - x ⋅ 1 + x 2 ⋅ 1 - x 4

Calculando o primeiro limite,

lim x → ∞  ⁡ 3 - x ⋅ 1 + x 2 ⋅ 1 - x 4 = lim x → ∞ ⁡ 3 - x ⋅ lim x → ∞ ⁡ 1 + x 2 ⋅ lim x → ∞ ⁡ 1 - x 4

= - ∞ ⋅ ∞ ⋅ ∞

= - ∞

Calculando o segundo limite, analogamente ao primeiro,

lim x → - ∞ ⁡ 3 - x ⋅ 1 + x 2 ⋅ 1 - x 4 = ∞ ⋅ ∞ ⋅ ∞

= ∞

Não se esqueça dos sinais dentro da expressão algébrica, eles são muito importantes.

Passo 4

Agora vamos plotar os pontos de interseção que achamos nos passos anteriores:

Temos a interseção com o eixo y , o ponto azul. Jás os pontos vermelho, laranja e verde são interseção com o eixo x .

Também calculamos o limite de quando x tende a - ∞ , que dá + ∞ . Isso nos dá ideia de que ela vem descendo lááá de cima pelo lado esquerdo.

Já o limite de quando x tende a +   ∞ - ∞ . Isso nos dá ideia de que ele continua descendo conforme vai andando pra direita:

Agora, podemos esboçar o gráfico:

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 3 - x ⋅ 1 + x 2 ⋅ 1 - x 4 = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ 3 - x ⋅ 1 + x 2 ⋅ 1 - x 4 = ∞

Interseção com o eixo y : 0,3

Interseção com o eixo x : - 1,0 , 1,0 e 3,0

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Calcule o limite e, quando aplicável, indique o teorema de limite usado. lim x → - 2 ⁡ x 2 - x - 6 x 2 - 5 x - 14
Calcule o limite e, quando aplicável, indique o teorema de limite usado. lim x → 1 2 ⁡ 4 x 2 + 4 x - 3 4 x 2 - 1 3
Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ 0 , ache umδ 0 tal que se 0x - aδ , então f ( x ) - Lϵ lim x → 5 ⁡ 4 x - 11 = 9
Calcule o limite e, quando aplicável, indique o teorema de limite usado. lim x → 2 ⁡ 3 x 2 - 4 x + 5
Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ 0 , ache umδ 0 tal que se 0x - aδ , então f ( x ) - Lϵ lim x → - 2 ⁡ 8 - 3 x = 14