Enunciado

(a) Quão grande devemos tornar x para que 1 x < 0,0001 ?

(b) Tomando r = 1 / 2 no Teorema 5, temos a igualdade

lim x → ∞ ⁡ 1 x = 0

Demonstre isso diretamente usando a Definição 7

Passo 1

Fala, gente bonita! Tudo certinho com vocês? Vamos ver essa questãozinha juntos.

O item (a) pede pra resolvermos essa inequação aqui:

1 x < 0,0001

Já o item (b), pede pra relembrarmos a Definição 7 apresentada nesse capítulo. Vamos relembrar aqui:

Definição 7:

A partir dessas informações, ele pede para demostrarmos essa igualdade:

lim x → ∞ ⁡ 1 x = 0

Muita calma nessa hora!

Sempre que trabalhamos com a definição precisa de limite, as coisas parecem super confusas. Mas vamos respirar fundo e pensar com calma.

Basicamente, o que a Definição 7 está falando pra gente é o seguinte:

Faz de conta que já temos o resultado de um limite no infinito, mas queremos demonstrar ele. Então queremos demonstrar isso aqui:

lim x → ∞ ⁡ f x = L

Então precismos de um número N bem grandão e um outro número ε bem pequenininho. Precisamos conseguir mostrar 3 coisas:

Vamos trabalhar com um valor de N , tal que x > N

→   Existe alguma relação entre os números N e ε ;

Vamos mostrar que f x - L < ε

Se conseguirmos mostrar tudo isso, então demonstramos o limite!

Vamos ver como fazer isso juntos!

Passo 2

Vamos começar atacando o item (a).

Precisamos resolver essa inequaçãoaqui:

1 x < 0,0001

Invertendo os dois lados da inequação e também a desisgualdade, temos:

x > 1 0,0001 = 10000

Elevando ao quadrado dos dois lados, temos:

x > 1 ⋅ 10 8

Legal! Então para que a desigualdade seja verdadeira precisamos de valores de x maiores do que 10 8 .

Vamos para o item (b).

Passo 3

Lembrando, queremos usar a Definição 7 pra demonstrar que:

lim x → ∞ ⁡ 1 x = 0

Vamos olhar novamente pra Definição 7:

Comparando o nosso limite com a Definição, conseguimos perceber que:

f x = 1 x L = 0

Vamos relembrar o que precisamos mostrar:

Vamos trabalhar com um valor de N , tal que x > N

→   Existe alguma relação entre os números N e ε ;

Vamos mostrar que f x - L < ε

Pra esse tipo de questão, normalmente encontramos um bom valor pra N partindo de uma afirmação com essa cara aqui:

f x - L < ε

No nosso caso, temos:

1 x < ϵ

Isolando o x , descobrimos que:

1 x < ϵ ⟺ x > 1 ϵ 2

Legal! Conseguimos descobrir um valor que x precisa ser sempre maior. Então como precismos de um valor pra N , tal que x > N , vamos dizer que:

x > N = 1 ϵ 2

Legal! De uma vez só, mostramos as duas primeiras coisas que queríamos:

Vamos trabalhar com um valor de N , tal que x > N

→   Existe alguma relação entre os números N e ε ;

Se conseguirmos mostrar a terceira, fechamos a demonstração!

Passo 4

Beleza. Agora só precisamos mostrar que, para o valor de N que escolhemos, f x - L < ε :

f x - L = 1 x - 0 = 1 x →

f x - L = 1 x

Lembrando que x > N = 1 ϵ 2 , podemos dizer que:

f x - L = 1 x < ε

Boa! Então, pela Definição 7, conseguimos demonstrar que:

lim x → ∞ ⁡ 1 x = 0

Resposta

a)

x > 1 ⋅ 10 8

b) Demonstrado na questão

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Nos exercícios de 57 a 60 , prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 , aplicando a Definição 2.5 . 1 ; isto é, dado ε0 , mostre que existe um número N0 tal que se xN , então f x - 1ε . 57 )f x = x x - 1
Prove que lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 4 = + ∞ , mostrando que para todo N0 existe um M0 tal que se xM então x 2 - 4N
Prove que lim x → - ∞ ⁡ 8 x + 3 2 x - 1 = 4 , mostrando que para todo ε0 existe um número N0 , tal que se xN então 8 x + 3 2 x - 1 - 4ε .
Nos exercícios de 57 a 60 , prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 , aplicando a Definição 2.5 . 1 ; isto é, dado ε0 , mostre que existe um número N0 tal que se xN , então f x - 1ε . 58 )f x = 2 x 2 x + 3
Prove que lim x → + ∞ ⁡ 6 - x - x 2 = - ∞ aplicando a definição do exercício 63 a Definição: lim x → + ∞ ⁡ f x = - ∞ se a função f estiver definida em algum intervalo a , + ∞ e se para todo N0 existir