Enunciado

Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ >   0 , ache um   δ >   0 tal que se 0 < x - a < δ   , então f ( x ) - L < ϵ

lim x → 5 ⁡ 4 x - 11 = 9

Passo 1

A exigência da Definição 2.1.1 é a de que 4 x - 11   seja definida para qualquer número de algum intervalo aberto que contenha 5 , mas não necessariamente definida para quando x = 5 . O polinômio 4 x - 11 definido para todos os números reais, então podemos usar qualquer intervalo aberto que contenha 5 . Assim agora vamos aplicar a Definição 2.1.1.

Se 0 < x - 5 < δ   , então 4 x - 11 - 9 < ϵ

Se 0 < x - 5 < δ   , então 4 x - 20 < ϵ

Passo 2

Agora vamos fazer algumas manipulações na seguinte desigualdade 4 x - 20 < ϵ . Vamos por o número 4 em evidência e depois dividir toda a expressão por 4 .

4 ( x - 5 ) < ϵ

4 ( x - 5 ) < ϵ ∙ 1 4

x - 5 < 1 4 ϵ

Passo 3

Se x - 5 < 1 4 ϵ equivale a 4 x - 20 < ϵ , então podemos dizer que

Se 0 < x - 5 < δ   , então x - 5 < 1 4 ϵ

Passo 4

Agora nossa afirmativa indica que 1 4 ϵ é um δ satisfatório. Tendo essa escolha de δ e manipulando a expressão multiplicando-a por 4 temos o seguinte argumento:

0 < x - 5 < δ  

0 < x - 5 < δ ∙ 4

0 <   4 x - 20 < 4 δ

0 <   4 x - 20 < ϵ , pois 1 4 ϵ =   δ

Como podemos estabelecer 1 4 ϵ =   δ , a afirmativa da Definição 2.1.1 é verdadeira e isso prova que lim x → 5 ⁡ 4 x - 11 = 9 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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