Enunciado

Encontre os números críticos da função

F (x) = x^((4)/(5)) (x - 4)^2

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre os números críticos da função:

F (x) = x^((4)/(5)) (x - 4)^2

Temos que um número crítico de uma função é o x quando

F^' (x) = 0

Então, para encontra-lo, basta derivarmos a função F e igualar F ' a zero. Para isso vamos usar a regra do produto, onde:

F^' (x) = g^' (x) h (x) + g^' (x) h (x)

Onde:

g (x) = x^((4)/(5))

h (x) = (x - 4)^2

Passo 2

Para calcular g ' ( x ) usamos a regra do produto:

g (x) = x^((4)/(5))

g^' ( x ) = (4)/(5) x^((4)/(5) - 1) = (4)/(5) x^(- (1)/(5))

Já para h ' ( x ) precisamos da regra da cadeia:

h (x) = (x - 4)^2

u = x - 4

h^' (x) = (d (u^2))/(d u) (d (x - 4))/(d x)

h^' (x) = 2 u xx 1 = 2 x - 8

Agora juntamos aplicamos a regra da multiplicação:

F^' (x) = g^' (x) h (x) + h^' (x) g (x)

F^' (x) = ((4)/(5) x^(- (1)/(5))) (x - 4)^2 + (x^((4)/(5))) (2 x - 8)

Vamos dar uma arrumadinha:

F^' (x) = (1)/(5) x^(- (1)/(5)) (x - 4) [5 * x * 2 + 4 * (x - 4)]

F^' (x) = (( x - 4 ) ( 10 x + 4 x - 16 ))/(5 x^((1)/(5)))

F^' (x) = (( x - 4 ) ( 14 x - 16 ))/(5 x^((1)/(5)))

Passo 3

Agora, igualando a zero, temos que

(( x - 4 ) ( 14 x - 16 ))/(5 x^((1)/(5))) = 0

No numerador

(x - 4) (14 x - 16) = 0

Usando o princípio da multiplicação por zero, ficamos com

14 x - 16 = 0 o u x - 4 = 0

14 x = 16

x = (16)/(14) = (8)/(7)

x - 4 = 0

x = 4

No denominador, temos que se o denominador for igual a zero, F ' ( x ) não estará definida, logo esse também é um número crítico

5 x^((1)/(5)) = 0

x^((1)/(5)) = 0

x = 0

Resposta

0 , 8 // 7 e 4 são os números críticos da função

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