Enunciado

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Ache os extermos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, uando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira.

Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.

f x = x 2 3 x - 4 2

Passo 1

Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de f x . Mas antes, vamos abrir a expressão da f x para facilitar nossas contas.

f x = x 2 3 x 2 - 16 x + 16

f x = x 8 3 - 8 x 5 3 + 16 x 2 3

Derivando, vamos encontrar:

f ' x = 8 3 x 5 3 - 8 5 3 x 2 3 + 16 2 3 x - 1 3

f ' x = 8 3 x 5 3 - 4 0 3 x 2 3 + 32 3 x - 1 3

Colocando 8 3 x - 1 3 em evidência

f ' x = 8 3 x - 1 3 x 2 - 5 x + 4

Os pontos crítos são aqueles que a derivada é 0 ou não existe. Como temos um expoente negativo, a nossa derivada não vai existir em x = 0 , isso porque

x - 1 3 = 1 x 1 3

Agora vamos ver quando a derivada é 0 .

f ' x = 0 → 8 3 x - 1 3 x 2 - 5 x + 4 = 0

Fazendo:

x 2 - x + 4 = 0

Fazendo Bhaskaras, vamos encontrar:

x = 1

x = 4

Então os pontos críticos são

x = 1

x = 4

x = 0

Passo 2

Agora, vamos tentar aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Partindo de

f ' x = 8 3 x 5 3 - 40 3 x 2 3 + 32 3 x - 1 3

Vamos ter

f ' ' x = 8 3 5 3 x 2 3 - 40 3 2 3 x - 1 3 + 32 3 - 1 3 x - 4 3

f ' ' x = 40 9 x 2 3 - 80 9 x - 1 3 - 32 9 x - 4 3

Colocando 8 9 x - 4 3 em evidência, vamos ter

f ' ' x = 8 9 x - 4 3 5 x 2 - 10 x - 4

Temos que ver o valor de f ' ' x para x = 1 , x = 0 e x = 4

Primeiro x = 0 :

f ' ' 0 = 8 9 0 - 4 3 5 0 2 - 10 0 - 4 = 0

Aqui o teste da segunda derivada não funciona.

Passo 3

Agora x = 1 :

f ' ' 1 = 8 9 1 - 4 3 5 1 2 - 10 1 - 4

f ' ' 1 = 8 9 5 - 10 - 4

f ' ' 1 = 8 9 - 9 = - 8 < 0

Logo x = 1 é ponto de máximo relativo.

Passo 4

Por fim

Agora x = 4 :

f ' ' 4 = 8 9 4 - 4 3 5 4 2 - 10 4 - 4

f ' ' 4 = 8 9 4 - 4 3 80 - 40 - 4

f ' ' 4 = 8 9 4 - 4 3 36 > 0

Logo x = 4 é ponto de mínimo relativo.

Passo 5

Temos que aplicar o teste da primeira derivada para x = 0 . Vamos olhar a derivada

f ' x = 8 3 x - 1 3 x 2 - 5 x + 4

Em torno de 0 , aquela expressão no parênteses fica 4 . Então tudo depende do x - 1 3 . Que vai ser positivo quando x for positivo. E Negativo quando x for negativo.

Então, vamos ter

x < 0 → f ' x < 0

x > 0 → f x > 0

Isso nos diz que x = 0 é um ponto de mínimo.

Passo 6

Vamos agora para a concavidade

f ' ' x = 8 9 x - 4 3 5 x 2 - 10 x - 4

Como aquele x fora do parênteses está elevado a 4 no numerador, ele vai ser sempre positivo. O sinal vai depender de

5 x 2 - 10 x - 4

Isso é uam função de 2 º grau. Com a = 5 > 0 . Então ela vai ser negativa entre as raízes e positiva fora delas.

Para isso, vamos fazer:

5 x 2 - 10 x - 4 = 0

Aplicando Bhaskaras

x = - - 10 ± - 10 2 - 4 5 - 4 2

x = 10 ± 100 + 80 2

x = 10 ± 180 2

x = 10 ± 6 5 2

Então

x = 5 ± 3 5

Assim o ponto de inflexão é:

x = 5 + 3 5

E

x = 5 - 3 5

Com

c o n c a v a   p a r a   b a i x o   ↔ x ∈ 5 - 3 5 , 5 + 3 5

c o n c a v a   p a r a   b a i x o   ↔ x ∈ - ∞ , 5 - 3 5   o u   x ∈ 5 + 3 5 , + ∞

Passo 7

Vamos organizar as informações para o nosso gráfico:

Máximo relativo:

x = 1

Mínimo relativo:

x = 0

x = 4

Ponto de inflexão:

x = 5 + 3 5

x = 5 - 3 5

Concava para cima:

x ∈ - ∞ , 5 - 3 5   o u   x ∈ 5 + 3 5 , + ∞

Concava para baixo

x ∈ 5 - 3 5 , 5 + 3 5

O esboço vai ficar:

Resposta

Máximo relativo:

x = 1

Mínimo relativo:

x = 0

x = 4

Ponto de inflexão:

x = 5 + 3 5

x = 5 - 3 5

Concava para cima:

x ∈ - ∞ , 5 - 3 5   o u   x ∈ 5 + 3 5 , + ∞

Concava para baixo

x ∈ 5 - 3 5 , 5 + 3 5

O esboço vai ficar:

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