Enunciado

53. Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P ( 2 ) = 5 , P ’ ( 2 ) = 3 e P ’ ’ ( 2 ) = 2 .

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui o que queremos é encontrar um polinômio do segundo grau, que tenha aquelas relações.

Podemos pensar em um polinômio do segundo grau geral:

P x = a x 2 + b x + c

Passo 2

Como temos as informações   P ’ ( 2 ) = 3 e P ’ ’ ( 2 ) = 2 , vamos derivar o polinômio 2 vezes:

P x = a x 2 + b x + c

P ' x = 2 a x + b

P ' ' x = 2 a

E agora vamos substituir as informações dadas no enunciado.

Passo 3

O enunciado nos diz quanto vale P ( 2 ) , então vamos escrever a equação:

P 2 = a 2 2 + b 2 + c

5 = 4 a + 2 b + c

De P ’ ( 2 ) = 3 , vamos substituir x = 2 na derivada P ' x = 2 a x + b , que achamos no passo 2:

3 = 2 a 2 + b

4 a + b - 3 = 0

Ainda precisamos de mais uma equação para encontrar os índices. Ainda bem que temos a informação P ’ ’ ( 2 ) = 2 . Na segunda derivada:

P ' ' 2 = 2 a

2 = 2 a

então

a = 1

E com esse valor encontramos os outros dois:

4 a + b - 3 = 0

b = - 1

e

5 = 4 a + 2 b + c

5 = 4 1 + 2 - 1 + c

c = 3

Agora, como temos os valores das incógnitas podemos montar o polinômio:

P x = 1 x 2 + - 1   x + 3

P x = x 2 - x + 3

Resposta

P x = x 2 - x + 3

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