Enunciado

59-61 A função g é uma função duas vezes diferenciável. Encontre f’’ em termos de g, g’ e g’’.61. f x = g x .

Passo 1

Nessa questão a gente precisa só precisa derivar duas vezes a função :

f ' x = d d x g x

Para derivar g x precisamos usar a regra da cadeia, pois tem uma função dentro da outra:

f ' x = g ' x ⋅ d d x x

f ' x = g ' x ⋅ 1 2 x

Passo 2

Agora é só derivar mais uma vez:

f ' ' x = d d x g ' x 2 x

Podemos usar a regra da divisão:

f ' ' x = d d x g ' x ⋅ 2 x - d d x 2 x ⋅ g ' x 2 x 2

Essa primeira derivada ai a gente usa a regra da cadeia para resolver:

f ' ' x = g ' ' x ⋅ d d x x   ⋅ 2 x - d d x 2 x ⋅ g ' x 2 x 2

Agora sobraram só as derivadas de raiz que já fizemos nos Passo 1:

f ' ' x = g ' ' x ⋅ 1 2 x   ⋅ 2 x - 2 ⋅ 1 2 x ⋅ g ' x 2 x 2

Podemos colocar no denominador aqueles 2 x que estão dividindo no numerador:

f ' ' x = g ' ' x ⋅ 2 x - 2 ⋅ g ' x 2 x 3

f ' ' x = g ' ' x ⋅ 2 x - 2 ⋅ g ' x 8 x x

Dividindo por 2 em cima e em baixo:

f ' ' x = x ⋅ g ' ' x - g ' x 4 x x

Resposta

f ' ' x = x ⋅ g ' ' x - g ' x 4 x x

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