Enunciado

Encontre o ponto da curva y = 2 x ,   x > 0 , que está mais próximo da origem.

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o ponto da curva y = 2 x que está mais próximo da origem, ou seja, que está mais próximo do ponto ( 0 ,   0 ) .

Pra saber a distância entre dois pontos, nós temos a fórmula:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Então, vamos substituir os pontos que o enunciado nos deu em d . Em seguida, vamos calcular a mínima distância entre eles minimizando a função que está dentro da raiz, ou seja, derivando e igualando o resultado a zero para encontrar seus pontos de mínimo.

Vamos lá!

Passo 2

Para x 0 ,   y 0 = ( 0 ,   0 ) e y = 2 x , vamos ter:

d = x - 0 2 + 2 x - 0 2

d = x 2 + 4 x 2

Assim, basta minimizar a função f x que está dentro da raiz quadrada, ou seja:

f x = x 2 + 4 x 2

Passo 3

Para isso, derivamos essa função e igualamos a zero:

f ' x = 2 x - 8 x 3 = 0

Igualando a zero:

x 4 - 4 = 0

Isolando x :

x = 2 2 4

x = 2

Então, x = 2 minimizará a distância, e o ponto será x , 2 x = 2 ,   2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 ,   2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o ponto da parábola y = x 2 que se encontra mais próximo da reta y = x - 2 .
Seja g definida e positiva no intervalo I . Seja p ∈ I . Prove: p será ponto de máximo (ou de mínimo) de h x = g x em I , se, e somente se, p for ponto de máximo (ou de mínimo) de g em I .
Determine o ponto da parábola y = 1 - x 2 que se encontra mais próximo da origem.
r é uma reta que passa pelo ponto 1 ,2 e intercepta os eixos nos pontos A = a ,0 e B = 0 ,b , com a0 e b0 . Determine r de modo que a distância de A a B seja a menor possível.
Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio r , uma semiesfera de raio r . Deseja-se que a área da superfície do sólido seja 5 π . Determine r e h para que o