Enunciado

Determine o ponto da parábola y = x 2 que se encontra mais próximo da reta y = x - 2 .

Passo 1

Note que um ponto qualquer da parábola y = x 2 pode ser escrito com coordenadas x ,   y = x ,   x 2 , e a fórmula da distância de um ponto x ,   y a uma reta a y + b x + c = 0 é dada assim:

d = a y + b x + c a 2 + b 2

No nosso caso, a reta é y - x + 2 = 0 , então:

d = 1 x 2 + - 1 x + 2 1 2 + - 1 2

d x = 1 2 x 2 - x + 2

Então, precisamos minimizar a função d x .

Passo 2

Queremos derivar d x e igualar a zero. Como o módulo só afeta o sinal da função, ele não faz diferença quando igualamos a zero, ou seja:

d ' x = 1 2 x 2 - x + 2 ' = 0

2 x - 1 = 0

x = 1 2

Assim, o ponto da parábola mais próximo daquela reta será:

x ,   y = x ,   x 2 = 1 2 ,   1 2 2

x ,   y = 1 2 , 1 4

Resposta

x ,   y = 1 2 , 1 4

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