Enunciado

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

f x = - x 4 + 4 x 3 - 4 x 2 + 2

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar f ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos então aplicar:

f ' x = - x 4 + 4 x 3 - 4 x 2 + 2 ' = - 4 x 4 - 1 + 3 ⋅ 4 x 3 - 1 - 2 ⋅ 4 x 2 - 1 + 0 = - 4 x 3 + 12 x 2 - 8 x

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x igualando a zero:

- 4 x 3 + 12 x 2 - 8 x = 0 → - 4 x x 2 - 3 x + 2 = 0 → - 4 x x - 2 x - 1

Assim:

f ' x = 3 x 2 + 4 x + 1 = x + 1 3 x + 1

Vamos analisar o sinal das duas expressões:

Para - 4 x temos:

A expressão assume valores negativos quando x < - 1 3 e assume valores positivos quando x > 1 3 .

Para x - 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Para x - 1 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Temos que f ' x > 0 em:

- ∞ , 0 e 1,2

E f ' x < 0 em:

0,1 e 2 , + ∞

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em - ∞ , 0 e 1,2

f é estritamente decrescente em 0,1 e 2 , + ∞

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ - x 4 + 4 x 3 - 4 x 2 + 2 = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ - x 4 + 4 x 3 - 4 x 2 + 2 = - ∞

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

f é estritamente crescente em - ∞ , 0 e 1,2

f é estritamente decrescente em 0,1 e 2 , + ∞

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Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côn
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Use o gráfico do Exercício 7 para fazer uma tabela que mostre os sinais de f ' e f ' ' nos intervalos 1 ,2 ,2 ,3 ,3 ,4 ,4 ,5 ,( 5 ,6 ) e ( 6 ,7 ) .