Enunciado

Encontre o ponto da elipse x = 2 cos ⁡ t ,   y = sen ⁡ t ,     0 ≤ t ≤ 2 π o mais próximo do ponto (3/4, 0). (Sugestão: minimize o quadrado da distância como uma função de t.)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Temos que ter em mente que qualquer ponto da parábola é da forma 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t , com isso, a distância entre 3 4 , 0 e ( 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t ) é

D = 3 4 - 2 cos ⁡ t 2 + 0 - sen ⁡ t 2

Desenvolvendo os termos

D = 9 16 - 3 cos ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t

Com isso, nós temos que

D = 25 16 - 3 cos ⁡ t + 3 cos 2 ⁡ t

A distância será mínima quando a expressão dentro da raiz quadrada for mínima.

Ou seja: temos que encontrar o valor de t para o qual f t = 25 16 - 3 cos ⁡ t + 3 cos 2 ⁡ t é mínimo.

Passo 2

Fazendo cos ⁡ t = u , nós temos que

g u = 3 u 2 - 3 u + 25 16

Calculando a derivada, temos que

f ' t = 6 u - 3 = 6 u - 1 2

O mínimo local ocorre em u = cos ⁡ t = 1 2 , portanto,

sen ⁡ t = ± 3 2

Existem os dois pontos que são próximos para 3 4 , 0 , são 1 , ± 3 2

Resposta

1 , ± 3 2

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