Enunciado

Nos exercícios 24 a 28, encontre uma curva geratriz e o eixo da superfície de revolução dada. Faca um esboço da superfície

25.

x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16

Passo 1

Oiii a todos que estão ingressando no mundo do cálculo de várias variáveis. Quando aprendemos a fazer gráficos em cálculo 1, aprendemos vários truques. Inclusive, se você já está mais sagaz, de olhar para uma função e concluir “ah isso aqui, tem um jeito de círculo”, por exemplo, rs. Se você ainda não pegou essa sagacidade, relaxe! Isso vem apenas com o tempo e após vários exercícios.

Uma dica que dou é usar muito uma calculadora gráfica. Isso ajuda absurdamente na compreensão da geometria do seu sistema.

Passo 2

No nosso caso temos

x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16

Que nos fornece essa superfície

Ou seja, um Elipsoide.

Lembra de quando fizemos o seguinte quando estávamos em 2D que riamos ir para 3D

V a r i a v e l   e i x o = V a r i a v e l   I n d e p e n d e n t e   2 + V a r i a v e l   I n d e p e n d e n t e   2

Isso vai ser útil para guiar a gente agora. Percebe só. Pelo gráfico, podemos ver que o eixo de simetria é o z. Então poderíamos fazer

x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16

4 z 2 = 16 - x 2 - y 2

E dizer que nossa curva original era

4 z 2 = 16 - x 2

E rotacionamos em z. ou

4 z 2 = 16 - y 2

E rotacionamos em z. Da no mesmo e ambas nos dão o mesmo resultado.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

4 z 2 = 16 - x 2

E rotacionamos em z. ou

4 z 2 = 16 - y 2

E rotacionamos em z

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Esboce a curva com a equação dada. r = θ , θ ≥ 0
Esboce a curva com a equação dada. r = sen ⁡ θ
Esboce a curva com a equação dada. r 2 - 3 r + 2 = 0
Esboce a curva com a equação dada. r = 2 + sen ⁡ θ
Esboce a curva com a equação dada. r 2 = cos ⁡ 4 θ