Enunciado

Encontre o ponto no plano 3x + 2y + z = 6 que está mais pró-

ximo da origem.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Você sabe como podemos encontrar o ponto sobre o plano 3 x + 2 y + z = 6 que é mais próximo da origem? Então fique atento e acompanhe!

Passo 2

Seja d = ( x , y , z ) = ( x - 0 ) 2 + ( y - 0 ) 2 + ( z - 0 ) 2 a distância até a origem.Podemos minimizar d ( x , y , z ) , minimizando a função D ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 .

Passo 3

Agora, reescrevendo a função 3 x + 2 y + z = 6 , temos:

z = 6 - 3 x - 2 y

E a função D ( x , y , z ) se torna, então

D ( x , y ) = x 2 + y 2 + ( 6 - 3 x - 2 y ) 2

Encontrando suas derivadas parciais e igualando a zero, temos:

D x ( x , y ) = 2 x - 6 ( 6 - 3 x - 2 y ) = 0 D y ( x , y ) = 2 y - 4 ( 6 - 3 x - 2 y ) = 0

Resolvendo a equação, encontramos o ponto crítico 9 7 , 6 7 . O valor z para esse ponto é

z = 3 7 . 

Para sabermos de que tipo de ponto crítico se trata, temos que as segundas derivadas são:

D x x 9 7 , 6 7 = 20 D y y 1 2 , 1 = 10 D x y 1 2 , 1 = 12

Assim, temos que:

D x x D y y - D x y 2 = 56 > 0 D x x > 0

Temos então um local mínimo.Como resposta, temos um local mínimo com valor d 9 7 , 6 7 , 3 7 = 3 14 7 .

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

13-Considere o elipsóide de equação x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 . Encontre as equações dos planos tangentes a esta superfície que são paralelos ao plano x + 4 y + 6 z = 30 .
Nos Exercícios 1-8, encontre equações para a. o plano tangente b. a reta normal no ponto P0 na superfície determinada.
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Nos Exercícios 9-12, encontre uma equação para o plano tangente à superfície determinada no ponto dado.