Enunciado

13-Considere o elipsóide de equação x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 . Encontre as equações dos planos tangentes a esta superfície que são paralelos ao plano x + 4 y + 6 z = 30 .

Passo 1

Gente, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar o vetor gradiente da nossa função f x ,   y ,   z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 21 .

∇ f x ,   y ,   z = ( 2 x ,   4 y ,   6 z )

Mas só que esse vetor tem que ser um múltiplo do vetor normal do plano x + 4 y + 6 z = 30 , pois os planos são paralelos.

Cara, nós sabemos que os valores que acompanham os termos x , y , z são as coordenadas do nosso vetor. Então,

( 1 ,   4,6 )

É o vetor que queremos.

Como nossos vetores tem que ser múltiplos:

2 x ,   4 y ,   6 z = γ   ( 1 ,   4 ,   6 )

Passo 2

Vamos, montar um sisteminha pra resolver isso:

2 x = 1 γ 4 y = 4 γ 6 z = 6 γ

Desse sistema nós podemos tirar isso aqui:

x = γ 2

y = γ

z = γ

Já que o nosso ponto γ 2 ,   γ ,   γ pertence ao elipsóide podemos trocá-lo na expressão dessa superfície para descobrirmos o valor do γ . Assim,

γ 2 2 + 2 γ 2 + 3 γ 2 = 21

γ 2 4 + 2 γ 2 + 3 γ 2 = 21

γ 2 + 8 γ 2 + 12 γ 2 = 84

21 γ 2 = 84

γ = ± 2

Dessa forma,

x = ± 1  

y = ± 2

z = ± 2

Passo 3

Para γ = 2 , temos o seguinte vetor:

( 2 ,   8 ,   12 )

E o seguinte ponto:

1 ,   2 ,   2

Substituindo isso na fórmula da equação do plano tangente, temos:

f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

2 x - 1 +   8 y - 2 + 12   z - 2 = 0

2 x + 8 y + 12 z - 2 - 16 - 24 = 0

2 x + 8 y + 12 z - 42 = 0

x + 4 y + 6 z - 21 = 0

Para γ = - 2 , temos o seguinte vetor:

( - 2 ,   - 8 ,   - 12 )

E o seguinte ponto:

- 1 ,   - 2 ,   - 2

Substituindo isso na fórmula da equação do plano tangente, temos:

f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

- 2 x + 1 -   8 y + 2 - 12   z + 2 = 0

- 2 x - 8 y - 12 z - 2 - 16 - 24 = 0

x + 4 y + 6 z + 21 = 0

Fim!

Resposta

x + 4 y + 6 z - 21 = 0

x + 4 y + 6 z + 21 = 0

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