Enunciado

Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

P a r á b o l a ,   e i x o   v e r t i c a l ,   p a s s a n d o   p o r   0,4 , 1,3   e   - 2 , - 6 .

Passo 1

Pessoal, uma parábola com eixo vertical tem como equação y = a x 2 + b x + c . Vamos escrever 3 equações usando os 3 pontos dados:

4 = a 0 2 + b 0 + c → c = 4

Agora podemos escrever 4 ao invés de c nas próximas duas equações.

3 = a 1 2 + b 1 + 4

- 1 = a + b

- 1 - a = b

- 6 = a - 2 2 + b - 2 + 4

- 10 = 4 a - 2 b

- 5 = 2 a - b

Ficamos com um sistema de duas equações e duas incógnitas!

b = - 1 - a - 5 = 2 a - b

- 5 = 2 a - - 1 - a

- 5 = 2 a + 1 + a

a = - 2

O que nos leva a ter

b = 1 - - 2 = 1

A equação da parábola é y = - 2 x 2 + x + 4 .

Passo 2

Vamos tentar colocar a equação da parábola na seguinte forma x - h 2 = 4 p ( y - k ) .

2 x 2 - x = - y + 4

2 x 2 - 1 2 x = - y + 4

Vamos completar quadrado aqui!

2 x 2 - 1 2 x + - 1 2 2 2 = - y + 4 + 2 - 1 2 2 2

2 x 2 - 1 2 x + 1 16 = - y + 4 + 1 8

2 x - 1 4 2 = - y + 33 8

2 x - 1 4 2 = - y - 33 8

x - 1 4 2 = - 1 2 y - 33 8

Resposta

A equação da cônica é:

x - 1 4 2 = - 1 2 y - 33 8

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