Enunciado

Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

r = 2 + sen ⁡ θ

Passo 1

Eaee, beleza?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

r = 2 + sen ⁡ θ

Queremos encontrar os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

Para calcular a inclinação da reta tangente basta usar a fórmula:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Para achar os pontos onde a tangente é horizontal é necessário que:

d y d θ = 0   e   d x d θ ≠ 0

E, para achar os pontos onde a tangente é vertical, é necessário que:

d x d θ = 0   e   d y d θ ≠ 0

Aahh.. vamos precisar saber também da relação entre coordenadas polares e cartesianas. Se liga que o ponto P pode ser dado tanto por coordenadas x , y quanto por coordenadas r , ϕ :

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Para começar, vamos achar o que é y ( θ ) .

Pela figura do passo 1, podemos ver que trata-se de:

y = r sen ⁡ θ

Substituindo r = 2 + sen ⁡ θ  

y = 2 + sen ⁡ θ sen ⁡ θ

y = 2 sen ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

Agora achando x ( θ ) , pela figura, temos:

x = r cos ⁡ θ

Substituindo r = 2 + sen ⁡ θ , temos:

x = 2 + sen ⁡ θ cos ⁡ θ

x = 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 3

Para achar as tangentes horizontais, vamos primeiro derivar y :

d y d θ = 2 cos ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Igualando a zero, temos:

2 cos ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

Passando o 2 cos ⁡ θ para o outro lado da equação:

2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = - 2 cos ⁡ θ

Essa igualdade só ocorre quando cos ⁡ θ = 0 , e isso ocorre nos ângulos

θ 1 = π 2

θ 2 = 3 π 2

Passo 4

Para achar as tangentes verticais, vamos derivar x :

d x d θ = - 2 sen ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Igualando a zero

- 2 sen ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = 0

Substituindo cos 2 ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ , temos:

- 2 sen ⁡ θ + 1 - sen 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = 0

- 2 sen 2 ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ + 1 = 0

Utilizando a mudança de variável u = sen ⁡ θ

- 2 u 2 - 2 u + 1 = 0

Resolvendo a equação por Bhaskara

Δ = - 2 2 - 4 - 2 1

Δ = 4 + 8 = 12

u = - - 2 ± 12 2 - 2

u = - 2 ± 12 4

Substituindo 12 = 2 3 :

u = - 2 ± 2 3 4

Simplificando a fração por 2 :

u = - 1 ± 3 2

u 1 = - 1 + 3 2

E

u 2 = 3 - 1 2

Agora vamos analisar um pouco...

Passo 5

Para o primeiro valor de u , qual o θ que faz sen ⁡ θ = - 1 + 3 2 ?

Neste caso, não existem valores de θ reais, porque - 1 + 3 2 < - 1 , e - 1 < sen ⁡ θ < 1 .

Então vamos focar no segundo valor de u .

Qual o θ que faz sen ⁡ θ = 3 - 1 2 ?

θ = arcsen ⁡ 3 - 1 2

Para não ficarmos usando isso toda hora, vamos nomear esse valor de α

α = arcsen ⁡ 3 - 1 2

θ 3 = α

Mas o arcsen ⁡ θ só cobre metade do circulo trigonométrico e existe outro θ que satisfaz essa condição e esse ângulo é o suplementar de θ 2 então:

θ 4 = π - θ 3

θ 4 = π - α

Passo 6

Como não tivemos ângulos que tiveram d y d θ = 0 e   d x d θ = 0 , todos os ângulos que achamos serão pontos críticos.

Para finalizar agora e sabermos os pontos exatos, basta calcular r para cada θ achado.

Para tangentes horizontais, com θ 1 = π 2 :

r 1 = 2 + sen ⁡ π 2

r 1 = 2 + 1

r 1 = 3

E, com θ 2 = 3 π 2 , temos:

r 2 = 2 + sen ⁡ 3 π 2

r 2 = 2 - 1

r 2 = 1

Então os pontos que tem tangentes horizontais, no formato ( r , θ ) são 3 , π 2 e 1 , 3 π 2 .

Passo 7

Para tangentes verticais, com θ 3 = α , temos:

r 3 = 2 + sen ⁡ α

r 3 = 2 + 3 - 1 2

r 3 = 3 2 + 3 2

E, com θ 4 = π - α , temos:

r 4 = 2 + sen ⁡ π - α

r 4 = 2 + 3 - 1 2

r 4 = 3 2 + 3 2

Então os pontos que tem tangentes verticais, no formato ( r , θ ) são

3 2 + 3 2 , α e 3 2 + 3 2 , π - α

Resposta

Horizontais: 3 , π 2 e 1 , 3 π 2 .

Verticais: 3 2 + 3 2 , α e 3 2 + 3 2 , π - α onde α = arcsen ⁡ 3 - 1 2 .

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