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Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

r = e θ

Passo 1

Para calcular a inclinação da reta tangente basta usar a fórmula:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Para achar os pontos onde a tangente é horizontal é necessário que:

d y d θ = 0   e   d x d θ ≠ 0

Para achar os pontos onde a tangente é vertical é necessário que:

d x d θ = 0   e   d y d θ ≠ 0

Passo 2

Para isso vamos achar o que é y ( θ )

y = r sen ⁡ θ

Substituindo r = e θ  

y = e θ sen ⁡ θ

Agora achando x ( θ ) , substiruindo r = e θ

x = r cos ⁡ θ

x = e θ cos ⁡ θ

Passo 3

Para achar as tangentes horizontais, vamos derivar y = e θ sen ⁡ θ usando a regra do produto

d y d θ = e θ sen ⁡ θ + e θ cos ⁡ θ

Colocanco e θ em evidencia

d y d θ = e θ ( sen ⁡ θ + cos ⁡ θ )

Igualando a zero

d y d θ = 0

e θ ( sen ⁡ θ + cos ⁡ θ ) = 0

Como a função exponencial nunca é igual a zero, podemos concluir que

sen ⁡ θ + cos ⁡ θ = 0

sen ⁡ θ = - cos ⁡ θ

Para reduzir os cálculos, podemos fazer uma analise mental desta igualdade. Quais os únicos ângulos em que o valor absoluto (sem considerar o sinal) do seno é igual ao valor absoluto do cosseno? Para os seguintes valores de θ : π 4 , 3 π 4 , 5 π 4 e 7 π 4 .

Mas agora analisando os sinais, em quais quadrantes o seno tem o sinal contrário ao do cosseno? No segundo e no quarto quadrante.

Para finalizar o pensamento, quais ângulos deste estão no segundo ou quarto quadrante?

θ 1 = 3 π 4

θ 2 = 7 π 4

Passo 4

Para achar as tangentes verticais, vamos derivar x = e θ cos ⁡ θ

d x d θ = e θ cos ⁡ θ - e θ sen ⁡ θ

Colocanco e θ em evidencia

d x d θ = e θ ( cos ⁡ θ - sen ⁡ θ )

Igualando a zero

d x d θ = 0

e θ ( cos ⁡ θ - sen ⁡ θ ) = 0

Como a exponencial não pode ser zero

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ = sen ⁡ θ

Utilizando a mesma análise das horizontais, mas desta vez o seno e o cosseno tem que ter sinais iguais. Quando isso ocorre?

θ 3 = π 4

θ 4 = 5 π 4

Passo 5

Como não tivemos ângulos que tiveram d y d θ = 0 e   d x d θ = 0 , todos os ângulos que achamos serão pontos críticos.

Para finalizar agora e sabermos os pontos exatos, basta calcular r para cada θ achado.

Para tangentes horizontais, com θ 1 = 3 π 4 e θ 2 = 7 π 4

r 1 = e 3 π 4

r 2 = e 7 π 4

Então os pontos que tem tangentes horizontais, no formato ( r , θ ) são e 3 π 4 , 3 π 4 e e 7 π 4 , 7 π 4 .

Para tangentes verticais, com θ 3 = π 4 e θ 4 = 5 π 4

r 3 = e π 4

r 4 = e 5 π 4

Então os pontos que tem tangentes verticais, no formato ( r , θ ) são e π 4 , π 4 e e 5 π 4 , 5 π 4 .

Resposta

Horizontais: e 3 π 4 , 3 π 4 e e 7 π 4 , 7 π 4 .

Verticais: e π 4 , π 4 e e 5 π 4 , 5 π 4 .

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