Enunciado

Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

G x = x + 2 3

Passo 1

Para analisarmos a concavidade, temos que achar a segunda derivada.

A nossa função é:

G x = x + 2 3

Derivando, usando a regra da cadeia para derivar o termo dentro do parênteses também:

G ' x = 3 x + 2 2 x ' = 3 x + 2 2

Agora vamos para a segunda derivada, usando a regra da cadeia para derivar o termo dentro do parênteses também:

G ' ' x = 6 x + 2 x ' = 6 x + 2 = 6 x + 12

Para anaisar a concavidade, temos que olhar o sinal dessa segunda derivada.

Passo 2

G ' ' x = 6 x - 6

Quando a segunda derivada for positiva, ela será côncava para cima.

Quando a segunda derivada for negativa, ela será côncava para baixo.

G ' ' x > 0 → c o n c a v a   p a r a   c i m a

G ' ' x < 0 → c o n c a v a   p a r a   b a i x o

Vamos analisar quando essa derivada é positiva:

6 x + 12 > 0 → 6 x > - 12 → x > - 2

E ela vai ser negativa:

6 x + 12 < 0 → 6 x < - 12 → x < - 2

Então vamos ter:

G ' ' x > 0 ⟷ x > - 2

G ' ' x < 0 ⟷ x < - 2

Fazendo a classificação de concavidade:

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > - 2

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < - 2

Passo 3

Agora vamos analisar os pontos de inflexão.

Para termos ponto de inflexão, devemos ter mudança de concavidade da nossa função.

Isso acontece em x = - 2 , logo ele é ponto de inflexão.

Passo 4

Vamos achar a inclinação da reta tangente no ponto dfe inflexão e fazer o esboço do gráfico

G ' - 2 = 3 - 2 + 2 2 = 0

Assim ela vai ter uma inclinação 0 , vamos ver o gráfico.

A função está em verde e a tangente em laranja

Resposta

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > - 2

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < - 2

x = - 2 → p o n t o   d e   i n f l e x ã o

G ' - 2 = 0

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