Enunciado

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Nos Exercícios de 29 a 31:

  1. Ache os pontos de inflexão do gráfico da função trigonométrica dada;
  2. Ache a inclinação das retas tangentes nos pontos de inflexão;
  3. Faça um esboço do gráfico da função num intervalo de 2 π de comprimento e contendo o ponto de inflexão com menor abscissa positiva, e mostre um segmento da reta tangente nesse ponto de inflexão.

3 1 )   F u n ç ã o   c o - t a n g e n t e

Passo 1

Para a letra a precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, devemos obter a derivada segunda da nossa função:

f x = co tg ⁡ x

f ' x = - c o s s e c ²   x

f ' ' x = 2 . c o s s e c ² x . c o t g x

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 . Então:

f ' ' x = 2 . c o s s e c ² x . c o t g x

Sabendo que:

c o t g x = 1 t g   x = cos ⁡ x s e n   x

c o s s e c   x = 1 se n ⁡ x

Como o termo cossecante não poderá ser igual a 0, para que f ' ' x seja igual a 0 devemos obter

cos ⁡ x = 0

Para que essa igualdade seja satisfeita:

x = ( k + 1 2 ) π ,                 k   é   n ú m e r o   i n t e i r o

Analisando a mudança da concavidade:

x = ( k + 1 2 ) π são pontos de inflexão.

Passo 2

Na letra b, precisamos lembrar que a inclinação das retas tangentes é dada pela derivada primeira da função. Sendo assim:

f ' x = - c o s s e c 2 x = - ( 1 s en ⁡ x ) ²

Para os pontos de inflexão:

x = k π

x = π 2         o u           x = 3 π 2    

A inclinação da reta tangente no ponto x = 1 2 π :        

f ' π 2 = - 1 sen ⁡ π 2 2 = - 1

E no ponto x = 3 π 2 :        

f ' 3 π 2 = - 1 sen ⁡ π 2 2 = - 1

Para todo k:

f ' x = - 1

Passo 3

Na letra c, desenhamos a função tangente no intervalo de 0 até 2 π e traçamos a reta tangente no ponto de inflexão com menor abscissa positiva ( π 2 ).

Resposta

  1. Pontos de inflexão: x = ( k + 1 2 ) π
  2. Inclinação da reta tangente = - 1

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y =
Suponha que f ' ' x > 0 em a ,   + ∞ e que existe x 0 > a t
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , x &nb
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e
Seja f x = a x 3 + b x 2 + c x + d , a ≠ 0 . Prove que f admite um úni
Se p for ponto de inflexão de f e se f ' p ≠ 0 , então diremos que p é
Se p for ponto de inflexão de f e se f ' p = 0 , então diremos que p é
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.m) y =
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.f) g x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.l) g x
g) y =   x 1 + x 2