Enunciado

Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

g x = x - 1 1 3

Passo 1

Para analisarmos a concavidade, temos que achar a segunda derivada.

A nossa função é:

g x = x - 1 1 3

Derivando, usando a regra da cadeia para derivar o termo dentro do parênteses também:

g ' x = 1 3 x - 1 - 2 3 x ' = 1 3 x - 1 - 2 3

Agora vamos para a segunda derivada, usando a regra da cadeia para derivar o termo dentro do parênteses também:

g ' ' x = 1 3 - 2 3 x - 1 - 5 3 x ' = - 2 9 x - 1 - 5 3

Para anaisar a concavidade, temos que olhar o sinal dessa segunda derivada.

Passo 2

g ' ' x = - 2 9 x - 1 - 5 3

Quando a segunda derivada for positiva, ela será côncava para cima.

Quando a segunda derivada for negativa, ela será côncava para baixo.

g ' ' x > 0 → c o n c a v a   p a r a   c i m a

g ' ' x < 0 → c o n c a v a   p a r a   b a i x o

O sinal todo depende daquele termo x + 2 , isso porque aquela potência mantêm o sinal da segunda derivada.

Ela vai ser positiva:

x - 1 > 0 → x > 1

E ela vai ser negativa:

x - 1 < 0 → x < 1

Então vamos ter:

g ' ' x > 0 ⟷ x > 1

g ' ' x < 0 ⟷ x < 1

Fazendo a classificação de concavidade:

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > 1

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < 1

Passo 3

Agora vamos analisar os pontos de inflexão.

Para termos ponto de inflexão, devemos ter mudança de concavidade da nossa função.

Isso acontece em x = 1 , logo ele é ponto de inflexão.

Passo 4

Vamos achar a inclinação da reta tangente no ponto dfe inflexão e fazer o esboço do gráfico

g ' 1 = 1 3 1 - 1 - 2 3 = 1 3 0 - 2 3

O expoente negativo vai ficar:

g ' 1 = 1 0 2 3 = 1 0

Isso nos diz que essa inclinação seria , mas não existe reta com inclinação infinita.

Quando acontecer da derivada ser , vai no sdizer que a reta tangente é vertical.

A função está em verde e a tangente em laranja

Resposta

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > 1

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < 1

x = 1 → p o n t o   d e   i n f l e x ã o

g ' 1 → ∞

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