Enunciado

Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

f x = x 3 + 9 x

Passo 1

Para analisarmos a concavidade, temos que achar a segunda derivada.

A nossa função é:

f x = x 3 + 9 x

Derivando:

f ' x = 3 x 2 + 9

Agora vamos para a segunda derivada:

f ' ' x = 6 x

Para anaisar a concavidade, temos que olhar o sinal dessa segunda derivada.

Passo 2

f ' ' x = 6 x

Quando a segunda derivada for positiva, ela será côncava para cima.

Quando a segunda derivada for negativa, ela será côncava para baixo.

f ' ' x > 0 → c o n c a v a   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v a   p a r a   b a i x o

Vamos analisar quando essa derivada é positiva:

6 x > 0 → x > 0

E ela vai ser negativa:

6 x < 0 → x < 0

Então vamos ter:

f ' ' x > 0 ⟷ x > 0

f ' ' x < 0 ⟷ x < 0

Fazendo a classificação de concavidade:

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > 0

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < 0

Passo 3

Agora vamos analisar os pontos de inflexão.

Para termos ponto de inflexão, devemos ter mudança de concavidade da nossa função.

Isso acontece em x = 0 , logo ele é ponto de inflexão.

Passo 4

Vamos achar a inclinação da reta tangente no ponto dfe inflexão e fazer o esboço do gráfico

f ' 0 = 3 0 2 + 9 = 9

Assim ela vai ter uma inclinação 9 , vamos ver o gráfico.

A função está em verde e a tangente em laranja

Resposta

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > 0

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < 0

x = 0 → p o n t o   d e   i n f l e x ã o

f ' 0 = 9

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