Enunciado

Encontre a primitiva F de f que satisfaça a condição dada. Verifique sua resposta comparando os gráficos de f e F

f x = 4 - 3 1 + x 2 - 1 ,                                                       F 1 = 0

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😇

cc

Bom, galera... nesse exercício iremos utilizar a tabela da seção 4.9 para encontrar a primitiva de f ( x ) . Ao encontrar uma primitiva, sempre se tem uma constante C por definição. Utilizaremos a condição dada para encontrar o valor dessa constante e assim comparar os gráficos de f e F .

Veja só! 😬

Passo 2

Iremos primeiramente reescrever f ( x ) da seguinte maneira

f x = 4 - 3 1 + x 2

Para encontrar a primitiva de f ( x ) , iremos utilizar a regra da potência e a regra de derivação de funções trigonométricas, assim, temos

f x = 4 - 3 1 + x 2

F x = 4 x - 3 tan - 1 ⁡ x + C

Derivando F ( x ) , temos

F ' x = 4 - 3 1 + x 2

Como F ' x = f ( x ) , então F ( x ) é a primitiva de f ( x ) .

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Substituindo a condição dada, temos

F x = 4 x - 3 tan - 1 ⁡ x + C

F 1 = 4 - 3 tan - 1 ⁡ ( 1 ) + C

0 = 4 - 3 π 4 + C

C = 3 π 4 - 4

Então, temos que

F x = 4 x - 3 tan - 1 ⁡ x + 3 π 4 - 4

Podemos assim gerar o gráfico de f ( x ) e F ( x )

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

F x = 4 x - 3 tan - 1 ⁡ x + 3 π 4 - 4

Podemos ver que f é positiva e F está crescendo em todos os valores possíveis.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Qual a aceleração necessária para aumentar a velocidade de um carro a 50 km/h para 80 km/h em5 s?
Encontre o limite lim h → 0 ⁡ 1 h ∫ x x + h ln ⁡ t d t
(a) Faça uma conjectura sobre o valor do limite lim k → 0 ⁡ ∫ 1 b t k - 1 d t ( b0 ) (b) Verifique sua conjectura calculando a integral e depois encontrando o limite. [Sugestão: Interprete o limite co
Os programas CAS têm comandos para trabalhar com a maioria das funções não elementares importantes. Verifique seu manual para informações sobre a função erro e r f ( x ) [veja a Fórmula (12)] e, então
Seja F x = ∫ 0 x f ( t ) d t , onde f é a função cujo gráfico é mostrado abaixo.(a) Onde ocorrem os mínimos relativos de F ? (b) Onde ocorrem os máximos relativos de F ? (c) No intervalo [ 0 ,5 ] , on