Enunciado

Em uma colmeia, cada alvéolo é um prisma hexagonal regular, aberto em uma extremidade com um ângulo triédrico na outra extremidade. Acredita-se que as abelhas formam esses alvéolos de modo a minimizar a área da superfície para um dado volume, usando assim uma quantidade mínima de cera na construção. O exame desses alvéolos mostrou que a medida do ângulo do ápice θ é surpreendentemente consistente. Baseado na geometria do alvéolo, pode ser mostrado que a área da superfície S é dada por

S = 6 s h = 3 2 s 2 c o t g θ + ( 3 s 2 3 2 ) cossec ⁡ θ

onde s , o comprimento dos lados do hexágono, e h , a altura, são constantes.

  1. Calcule d S d θ .
  2. Que ângulo as abelhas deveriam preferir?
  3. Determine a área da superfície mínima do alvéolo (em termos de s e h ).

Observação: Medidas reais do ângulo θ em colmeias foram feitas, e as medidas desses ângulos raramente diferem do valor calculado em mais que 2 º .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu a seguinte função:

S = 6 s h = 3 2 s 2 c o t g θ + ( 3 s 2 3 2 ) cossec ⁡ θ

E pediu pra gente calcular a derivada dessa função em relação a θ , encontrar um ângulo mínimo que as abelhas iriam preferir e determinar a área da superfície mínima do alvéolo em termos de s e h .

Então, basicamente, o que nós vamos fazer é derivar essa equação e igualar o resultado a zero para encontrar os pontos críticos e depois, substituir esses valores na equação da superfície S .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando d S d θ , derivando a nossa equação:

S ' θ = 3 2 s 2 cossec ⁡ ² θ - 3 s 2 3 2   cossec ⁡ θ cot ⁡ θ

S ' θ = 3 2 s ² cossec ⁡ θ ( cossec ⁡ θ - 3 cot ⁡ θ )

(b) Agora para encontrar o ângulo igualamos d S d θ a zero. Como a cossecante não pode assumir valor zero, podemos ver a parte 3 2 s ² cossec ⁡ θ   como uma constante e resolver apenas com o termo dentro dos parênteses:

cossec ⁡ θ - 3 cot ⁡ θ = 0

cossec ⁡ θ = 3 cot ⁡ θ

Como cossec ⁡ θ = 1 sen ⁡ θ   e cot ⁡ θ = cos ⁡ θ sen ⁡ θ , por definição, vamos ter então:

1 sen ⁡ θ = 3 cos ⁡ θ sen ⁡ θ

3 cos ⁡ θ = sen ⁡ θ sen ⁡ θ

E isolando o cosseno:

cos ⁡ θ = 1 3

cos ⁡ θ = 0,57

Analisando a tabela trigonométrica, o ângulo que possui esse cosseno mede 55 ° .

Passo 3

(c) Como temos um cos ⁡ θ = 1 3 , podemos achar na tabela trigonométrica do ângulo 55 que cot ⁡ θ = 1 2 e que cossec ⁡ θ = 3 cot ⁡ θ = 3 2 . Então, substituindo esses valores na equação que o enunciado nos deu, a área da superfície é:

S = 6 s h - 3 2 s 2 1 2 + 3 s 2 3 2 3 2

S = 6 s h - 3 2 2 s 2 + 9 2 2 s 2

Simplificando:

S = 6 s h + 6 2 2 s 2

S = 6 s h + 1 2 2 s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. S ' θ = 3 2 s ² cossec ⁡ θ ( cossec ⁡ θ - 3 cot ⁡ θ )
  2. θ = 55 °
  3. S = 6 s h + 1 2 2 s
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