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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 2 n + 1 x n + 1 n + 1 4 - 2 n x n n 4 = lim n → ∞ ⁡ 2 n ∙ 2 ∙ x n ∙ x n + 1 4 ∙ n 4 2 n ∙ x n = 2 x ∙ lim n → ∞ ⁡ n 4 n + 1 4 = 2 x

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para 2 x < 1 , ou seja, para x < 1 2 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 1 2 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo - 1 2 , 1 2 em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 1 2 e x = 1 2 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = - 1 2 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 , uma p-série com p = 1 4 < 1 , e, portanto, uma série divergente.

Já para x = 1 2 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 4 , que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = - 1 2 , 1 2

Resposta

R = 1 2   e   I = - 1 2 , 1 2

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