Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 ! - 1 n x 2 n 2 n ! = lim n → ∞ ⁡ x 2 n ∙ x 2 2 n + 2 ! ∙ 2 n ! x 2 n

Resolvendo o limite acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ x 2 n ∙ x 2 2 n + 2 ! ∙ 2 n ! x 2 n = x 2 ∙ lim n → ∞ ⁡ 2 n ! 2 n + 2 2 n + 1 2 n ! = x 2 ∙ 0 = 0

Passo 2

Opa! Nosso limite deu zero para qualquer valor de x .

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para todo e qualquer x ∈ R . Nosso raio de convergência será então R = ∞ e nosso intervalo de convergência será I = ( - ∞ , ∞ )

Resposta

R = ∞   e   I = ( - ∞ , ∞ )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 4 n x n
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n n x n
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n n 3
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n