Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

∑ n = 2 ∞ - 1 n 2 x + 3 n n ln ⁡ n

Passo 1

Para obtermos o raio de convergência e o intervalo de convergência, é necessário utilizarmos o teste da razão. Ele nos diz que, se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L < 1

Então a série ∑ a n é convergente. Portanto, vamos checar se isto é verdade para a nossa função! Calculando o termo do limite inicialmente, temos:

a n + 1 a n = - 1 n + 1 ⋅ 2 x + 3 n + 1 n + 1 ln ⁡ n + 1 ⋅ n ⋅ ln ⁡ n - 1 n 2 x + 3 n = ( 2 x + 3 ) 1 + 1 n ⋅ ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n

Agora,

lim n → ∞ ⁡ ( 2 x + 3 ) 1 + 1 n ⋅ ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n = 2 x + 3 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n ⋅ ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n

2 x + 3 1 ⋅ 1 = 2 x + 3 < 1

Portanto, a série será convergente se - 2 < x < - 1 . Consequentemente, o raio de convergência é 1/2.

Passo 2

Ainda não acabamos a questão! Precisamos ver o que ocorre quando x = - 2 e x = - 1 , isto é, testar os extremos do nosso intervalo! Quando x = - 2 , temos a seguinte série:

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

Esta série diverge. Basta checar através do teste da integral!

Já quando x = - 1 , temos:

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n

Já esta série converge. A partir do teste da série alternada, checamos que a b n + 1 ≤ b n e que lim n → ∞ ⁡ b n = 0 . Portanto, a série converge para x = - 1 ! Logo, o intervalo de convergência é:

- 2 < x ≤ - 1

Resposta

Raio de convergência é 1/2. O intervalo de convergência é - 2 < x ≤ - 1 .

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