Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ n ! x n 1   .   3   .   5 … ( 2 n - 1 )

Passo 1

Pessoal, pra encontrar o raio de convergência, temos que aplicar o Teste da Razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = l i m n → ∞   n + 1 ! | x n + 1 |   .   1   .   3   .   5 … ( 2 n - 1 ) 1   .   3   .   5 … 2 n - 1 2 n + 1 - 1 n ! x n = l i m n → ∞ n + 1 n ! 2 n + 1 n !   x n + 1 x n = l i m n → ∞ n + 1 2 n + 1 x = 1 2 | x |  

Passo 2

Assim, pra haver convergência, temos que ter:

1 2 x < 1

x < 2

Ou seja, o raio de convergência é 2 , e temos pelo menos - 2 < x < 2 no intervalo de convergência.

Passo 3

Agora bora testar os extremos do intervalo? Será que a série é convergente pra x = 2 ? A série ficaria assim:

∑ n = 1 ∞ n ! 2 n 1   .   3   .   5 … ( 2 n - 1 )

Vamos tentar o Teste para Divergência:

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   n ! 2 n 1   .   3   .   5 … 2 n - 1 = l i m n → ∞   1   .   2   .   3   .   4   .   5 … n 2   .   2   .   2   .   2   .   2 … 2 1   .   3   .   5 … 2 n - 1 = l i m n → ∞   2   .   4   .   6   .   8   .   10 … 2 n 1   .   3   .   5 … ( 2 n - 1 ) = l i m n → ∞ 2 1   .   4 3   . 6 5 … 2 n 2 n - 1

Perceba que esse limite nunca vai ser 0 , então, pelo Teste para Divergência, x = 2 não pode fazer parte do intervalo de convergência. E, quanto a x = - 2 , o limite anterior apenas seria multiplicado por - 1 n , o que também não resultaria num limite nulo. Então, somente para - 2 < x < 2 a série é convergente.

Resposta

R = 2

( - 2 ,   2 )

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