Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = x 9 + x 2

Passo 1

Beleza, pessoal? Que tal reescrever a função assim:

f x = x 9 - - x 2 = x 9 1 - - x 2 9

Veja que a expressão da função agora pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo x 9 e razão - x 2 9   , ou seja:

f x = x 9 - 1 81 x 3 + 1 729 x 5 + …

E isso nos dá exatamente a série de potências:

f x = ∑ n = 0 ∞ x 9 - x 2 9 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 9 n + 1 x 2 n + 1

Passo 2

Beleza! Como a razão da série geométrica é - x 2 9   , temos que ter, pra série convergir:

- x 2 9 < 1

x 2 9 < 1

x 2 < 9

- 3 < x < 3

Ou seja, o intervalo de convergência é - 3 ,   3 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 9 n + 1 x 2 n + 1

( - 3 ,   3 )

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