Enunciado

A função A definida por

A x = 1 + x 3 2   .   3 + x 6 2   .   3   .   5   .   6 + x 9 2   .   3   .   5   .   6   .   8   .   9 +

é denominada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).

(a) Encontre o domínio da função de Airy.

(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela.

(c) Se seu SCA tiver funções de Airy programadas, trace A na mesma tela que as somas parciais na parte (b) e observe como as somas parciais aproximam A .

Passo 1

(a) Beleza, galera? Pra encontrar o domínio dessa função, temos que encontrar pra quais valores de x essa série converge. Então seria uma ótima ideia usar o Teste da Razão, mas como vamos usá-lo se não sabemos quem é a n e a n + 1 ?

Pra resolver isso, perceba que os termos da série podem ser definidos recursivamente, olha só:

a 1 = 1

a n + 1 = x 3 3 n - 1 3 n   a n

Não se preocupe, é realmente difícil enxergar essa relação de recorrência, mas pode conferir se quiser!

Passo 2

Show! Agora sim podemos usar o Teste da Razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = l i m n → ∞ x 3 3 n - 1 3 n   a n a n = l i m n → ∞ 1 3 n - 1 3 n | x 3 | = 0

Como esse limite é sempre 0 , que é menor do que 1 , a série converge pra qualquer x , ou seja, o domínio da função de Airy é - ∞ ,   ∞ .

Passo 3

(b) Beleza! Vamos traçar algumas somas parciais da série que define a função de Airy:

Passo 4

(c) ( S C A )

Resposta

(a) ( - ∞ , ∞ )

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11.11. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da serie ∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n n x n
Uma função f é definida por f x = 1 + 2 x + x 2 + 2 x 3 + x 4 + … isto é, seus coeficientes são c 2 n = 1 e c 2 n + 1 = 2 para todo n ≥ 0 . Ache o intervalo de convergência e encontre uma fórmula expl
Mostre que, se l i m n → ∞| c n | n = c onde c ≠ 0 , então o raio de convergência da série de potências ∑ c n x n é R = 1 c .
Suponha que a série ∑ c n x n tenha raio de convergência 2 e que a série ∑ d n x n tenha raio de convergência 3 . O que você pode dizer sobre o raio de convergência da série ∑ ( c n + d n ) x n ? Expl
Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.