Enunciado

Encontre as representações paramétricas das superfícies:

  • A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 36 que está entre os planos z = 0 e z = 3 3 .

Passo 1

E aí galerinha, vamos começar mais essa questão. A primeira coisa que podemos fazer é parametrizar a esfera. A parametrização é dada por:

x = r sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ → x = 6 sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ → y = 6 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ

z = r cos ⁡ ϕ → z = 6 cos ⁡ ϕ

A interseção da esfera com o plano z = 3 3 corresponde a:

z = 6 cos ⁡ ϕ = 3 3

cos ⁡ ϕ = 3 2 → ϕ = π 6

Agora, a interseção da esfera com o plano z = 0 (o plano x y ) corresponde a:

z = 6 cos ⁡ ϕ = 0

cos ⁡ ϕ = 0 → ϕ = π / 2

Assim, a superfície é delimitada por π 6 ≤ ϕ ≤ π 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Resposta

A representação paramétrica é:

x = 6 sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = 6 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ

z = 6 cos ⁡ ϕ

Com π 6 ≤ ϕ ≤ π 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

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