Enunciado

Encontre o vetor gradiente de f .

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

f (x , y , z) = x^2 y e^(y // z)

O vetor gradiente é dado por:

grad f (x , y , z) = f_x (x , y , z) vec i + f_y (x , y , z) vec j + f_z (x , y , z) vec k

Passo 2

Nesse caso, temos:

f_x (x , y , z) = 2 x y e^(y // z)

f_y (x , y , z) = x^2 e^(y // z) + (x^2 y)/(z) e^(y // z)

f_z (x , y , z) = x^2 y (- (y)/(z^2)) e^(y // z)

Passo 3

Sendo assim, podemos escrever o vetor gradiente como:

grad f (x , y , z) = 2 x y e^(y // z) vec i + x^2 e^(y // z) + (x^2 y)/(z) e^(y // z) vec j + x^2 y (- (y)/(z^2)) e^(y // z) vec k

Resposta

grad f (x , y , z) = 2 x y e^(y // z) vec i + x^2 e^(y // z) + (x^2 y)/(z) e^(y // z) vec j + x^2 y (- (y)/(z^2)) e^(y // z) vec k

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