Enunciado

32. Se f ( 3 ) = 4 , g ( 3 ) = 2 , f ´ ( 3 ) = - 6 e g ' ( 3 ) = 5 , encontre os seguintes números:

(a) ( f + g ) ' ( 3 ) (b) ( f g ) ' ( 3 )

(c) f g ' ( 3 ) (d) f f - g ' ( 3 )

Passo 1

É uma questão para usarmos a regras de derivação, aparentemente não parece ser difícil, mas temos que prestar atenção para não errarmos coisas bobas!

Nós sabemos que:

f ( 3 ) = 4 , g ( 3 ) = 2 , f ´ ( 3 ) = - 6 e g ' ( 3 ) = 5

E queremos encontrar:

(a) f + g ' 3

(b) ( f g ) ' ( 3 )

(c) f g ' ( 3 )

(d) f f - g ' ( 3 )

Antes de começar, vamos lembrar algumas regrinhas básicas:

Soma/Subtração - É só somar e subtrair normalmente, logo:

f ± g ' x = f ' x ± g ' x

Produto - Deriva o primeiro repete o segundo “mais” repete o primeiro deriva o segundo:

f g ' x = f ' x g x + f x g ' x

Quociente - Deriva o primeiro repete o segundo “menos” repete o primeiro deriva o segundo, tudo isso dividido pelo segundo ao quadrado.

f / g ' x = f ' x g x + f x g ' x g 2 x

Agora é só aplicar!

Passo 2

(a)

( f + g ) ' ( 3 ) = f ' ( 3 ) + g ' ( 3 )

( f + g ) ' ( 3 ) = - 6 + 5 = - 1

Vamos para a próxima!

(b)

( f g ) ' ( 3 ) = f ( 3 ) g ' ( 3 ) + f ' ( 3 ) g ( 3 )

( f g ) ' ( 3 ) = 4 × 5 + - 6 × 2

( f g ) ' ( 3 ) = 20 - 12

( f g ) ' ( 3 ) = 8

Passo 3

Não vamos perder o ritmo!!!! Desce mais uma!

(c)

f g ' 3 = f ' 3 g 3 - f 3 g ' 3 g 3 2

= - 6 × 2 - 4 × 5 2 2

= - 12 - 20 4

= - 32 4 = - 8

Para finalizar, UFaaaaa!

(d)

Antes de fazermos a operação, vou chamar f - g de h

h 3 = f - g 3

= f 3 - g 3

= 4 - 2 = 2

Agora a derivada de h , pois usaremos na nossa operação!

h ' 3 = f - g ' 3

= f ' 3 - g ' 3

= - 6 - 5 = - 11

Vamos lá! Lembra que f - g é h agora

f h ' 3 = f ' 3 h 3 - f 3 h ' 3 h 3 2

= - 6 × 2 - 4 × - 11 - 11 2

= - 12 + 44 121 = 32 121

Voltando para o original!

f f - g ' ( 3 ) = 32 121

Resposta

(a)

( f + g ) ' ( 3 ) = - 1

(b)

( f g ) ' ( 3 ) = 8

(c)

f g ' ( 3 ) = - 8

(d)

f f - g ' ( 3 ) = 32 121

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