Enunciado

31. Se p ( x ) for o valor total da produção quando há x trabalhadores em uma fábrica, então a produtividade média da força de trabalho da fábrica é

A ( x ) = p ( x ) x

  1. Encontre A ' ( x ) . Por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se A ' ( x ) > 0 ?
  2. Mostre que A ' ( x ) > 0 se p ' ( x ) for maior que a produtividade média.

Passo 1

Usaremos a fórmula de divisão de derivada! Vou coloca-la aqui para facilitar nosso trabalho!

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Vamos separar as funções assim fica mais claro:

f = p ( x )

f ' = p ' ( x )

g = x

g ' = 1

Passo 2

Vamos fazer a derivada então

A ' ( x ) = p ' ( x ) x - p ( x ) 1 x 2 = p ' ( x ) x - p ( x ) x 2

A média da produtividade cresce com o aumento de funcionários, pois teríamos mais mão de obra!

Passo 3

(b)

A ' ( x ) = p ' ( x ) x - p ( x ) x 2

Se A ' ( x ) > 0 , temos:

p ' ( x ) x - p ( x ) > 0

p ' ( x ) > p ( x ) x

p ' ( x ) > A ( x )

O que significa que p ' ( x ) é maior que a produtividade média.

Resposta

(a)

A ' ( x ) = p ' ( x ) x - p ( x ) 1 x 2 = p ' ( x ) x - p ( x ) x 2

A média da produtividade cresce com o aumento de funcionários, pois teríamos mais mão de obra!

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